SAV du DL n°5 de Mathématiques
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Le DL n°05 introduit une suite de polynômes dont on étudie quelques propriétés.
Comments (7)
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Bonjour monsieur,
pour la question 1b du DM, est-il possible de faire une récurrence forte pour prouver l’unicité?
Bon week end
Bonsoir Jules.
Je ne crois pas avoir jamais vu l’unicité de XXX montrée par une récurrence …
Il faudra m’expliquer ce que vous comptiez faire, mais ma réponse est plutôt: NON.
De manière classique, on peut montrer l’existence de XXX par récurrence (comme dans ce DL), mais on utilise d’autres arguments pour l’unicité : ici, on utilisera le fait qu’un polynôme avec une infinité de racines est nécessairement nul …
Pensez aussi à la démo du TH de division euclidienne des polynômes : existence prouvée par récurrence et unicité par l’absurde en utilisant l’argument des des degrés.
Bon courage et à lundi !
Bonjour monsieur, j’ai du mal avec la question 5 pour trouver la valeur exacte du produit P. Pouvez vous me donner des indices..?
Bonsoir Antonin..
Vous avez déterminé les racines du polynôme \(U_n\) pour \(n\in\N^*\) fixé.
Cela vous a permis d’écrire \(U_n\) sous la forme d’un produit de polynômes irréductibles de degré 1, et on va appliquer ce que vous avez obtenu à la question 4.a dans le cas où \(n\) est impair c’est-à-dire lorsqu’on peut écrire \(n=2p+1\) avec \(p\in\N\): \[U_{2p+1}=\prod_{k=1}^{2p} \Big(X-2\cos \frac{k\pi}{2p+1}\Big)\]
Si on substitue 0 à X dans cette égalité polynomiale, on obtient alors \[U_{2p+1}(0)=\prod_{k=1}^{2p} \big(-2\cos \frac{k\pi}{2p+1}\big)= 2^{2p}\prod_{k=1}^{2p} \Big(\cos \frac{k\pi}{2p+1}\Big)\]
Le produit demandé est obtenu en remarquant que \(U_{2p+1}(0)=(-1)^p\) puisqu’en utilisant la relation donnée dans la question 1 (dans laquelle on remplace à nouveau X par 0), on s’aperçoit que \((U_{2p+1}(0))_{p\in\N}\) est une suite géométrique de raison -1 et de premier terme 1 !!
Retenez que le produit des racines d’un polynôme est toujours en rapport avec la factorisation de celui-ci en produit de polynômes irréductibles et sa valeur en 0 !
Bon courage …. et à bientôt !
Bonjour Monsieur.
J’avais une question concernant la question 6) du DL, comment déduire de l’expression de V_n que les diviseurs commun sont les polynômes constants ?
Merci de votre réponse !
Bonne fin de vacances
Bonsoir Milane.
Normalement, vous avez montré que pour tout \(n\in\llbracket 2;+\infty\llbracket,\ V_n=1\).
Afin de déterminer les diviseurs communs à \(U_n\) et \(U_{n+1}\), raisonnons de la sorte : Soit \(D\in\R[X]\) un diviseur commun à \(U_n\) et \(U_{n+1}\). Ainsi \(D|U_n\) donc \(D|AU_n\) quel que soit le polynôme \(A\in\mathbb{R}[X]\). Cela veut dire par exemple que \(\D|U_n^2\). De plus \(D|U_{n+1}\) donc …
Déduisez-en finalement que \(D|1\), ce qui signifie que \(D\) est un polynôme inversible de \(\R[X]\) … et dans le cours, on a écrit que les polynômes inversibles de \(\R[X]\) sont …
Voilà comment on fait pour montrer que \(D\) est constant !!!!
Bon courage et à lundi !
Bonjour à tous !
Après quelques jours d’absence (visite de l’École Nationale des Ponts et Chaussées), me voici de retour, avec des réponses à une question posée par Clément et Flavy :
1. Comment montrer l’existence, pour \(n\in\mathbb{N}^*\) fixé, d’un polynôme \(U_n\) vérifiant : …
2. Faut-il vraiment montrer l’unicité
————————————————–
Voici des éléments de réponse :
1. Dans la mesure où on vous donne dans l’énoncé la relation \(U_{n+2}=XU_{n+1}-U_n\), on peut être amené à penser à une récurrence DOUBLE car il semble que l’on ait besoin de \(U_n\) et \(U_{n+1}\) pour définir \(U_{n+2}\).
– Définissez la propriété \(\pi(n)\) qui doit OBLIGATOIREMENT commencer par \(\pi(n) = [ \text{Il existe }U_n \text{ tel que …}]\)
– Déterminez \(U_1\) et \(U_2\) : ATTENTION, ni \(U_1\), ni \(U_2\) , ni \(U_n\) ne doivent dépendre de \(\cos t\) ou \(\sin t\) ou même \(t\).
– Dans l’héréedité, essayer d »exprimer \(\sin\big( (n+2)t\big)\) en fonction de \(\sin\big( (n+1)t\big)\) et \(\sin (nt)\)
2. En ce qui concerne l’unicité, OUI, il faut la démontrer car elle n’est pas du tout évidente !! En effet, si on dit qu’il existe une fonction \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) qui vérifie: \[\forall t\in\mathbb{R},\ f(\cos t)=0,\]
il est clair que cette affirmation est vraie puisque la fonction nulle \(f:x\mapsto 0\) répond clairement à cette condition. En revanche, la fonction \(g: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) défnie par : \[\forall t\in [-1,1], g(t)=0 \text{ et }\forall t\in ]-\infty;-1[\cup ]1;+\infty[,\ g(t) = (|t|-1)^2 \] est une AUTRE fonction vérifiant la même condition c.-à-d. \[ g(\cos t)= 0 \] pour tout \(t\in\mathbb{R}\).
Pour autant, il. n’existe qu’un seul polynôme \(U\in\mathbb{R}[X]\) vérifiant : \[ \forall t\in\mathbb{R},\ U(\cos t)=0 \] mais POURQUOI ?
Comme toujours dans ce genre de PB, supposez qu’il existe 2 polynômes qui vérifient la même propriété, et essayez de montrer que ces 2 polynômes sont égaux. Pour ce faire montrez qu’un certain polynôme (pas le premier ni le second, mais un AUTRE, formé à partir des 2 polynômes de départ) possède une infinité de racines … Nous avons vu dans le cours qu’un polynôme réel de degré \(n\in\mathbb{N}\) possède au plus \(n\) racines réelles, donc si un polynôme possède une infinité de racines, on peut dire que ce polynôme est ???
Bon courage et bonne deuxième semaine de vacances !