SAV du DL n°6 de Mathématiques
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\)
Le DL n°06 fait l’étude d’une suite de nombres réels définie par récurrence. Au programme : point fixe, application contractante, inégalité des accroissements finis, théorème de la limite de la dérivée!
Comments (7)
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Reboujour,
Je suis à la question 4)a), et j’ai passé plusieurs heures sur ce problème et j’ai l’impression qu’une chose m’échappe. Grace au TAF j’ai pu dire qu’il existe \(c \in ]a;b], g'(c) = T_a(b) \) et que comme g est concave, Cg est au dessus de ses tangentes et g’ est décroissante. Je vois bien géométriquement ce que le résultat qu’on veut démontrer représente, mais je ne vois pas comment mettre en lien tout cela pour montrer que \(T_a\) est décroissante. Comme le TAF ne donne d’info sur \(T_a\) en un point, j’ai du mal à voir comment on peut montrer au final que pour tt \( x \in ]a;b], T_a\) est décroissante. Et en cherchant du côté de \( T_a’\), je n’ai rien de très concluant non plus.
Ai-je loupé quelque chose ou bien est ce que je ne vois juste pas une connexion entre les résultats que j’ai pu trouver ?
Bonjour Paul-Antonin.
Oui, vous avez raison. Il faut chercher du côté de \(T’_a\). Lorsque vous dérivez cette fonction, vous obtenez :
\[\forall x \in {]a;b[},\ T_a'(x)=\frac{g'(x)(x-a)-(g(x)-g(a))}{(x-a)^2}. \]
Appliquez le TAF à \(g\) sur le segment \([a;x]\) et vous trouverez le signe de \(T_a'(x)\) !! Joli, non ?
Bon courage !
Ohhh en effet c‘est pas mal ! Merci beaucoup !
La première fois que j’ai vu ce truc, cela m’a beaucoup énervé … car je ne l’avais pas trouvé ;-(
Bonjour (c’est le cas de le dire) Paul-Antonin.
Je vais faire court : IPP !!!
Pour tout \(x\in\mathbb{R}, \)
\[
\sin x = \int_0^x \cos t \,\mathrm{d}t = \Bigl[t\cos t\Bigr]_0^x + \int_0^x t\sin t\,\mathrm{d}t
\]
donc
\[
x\cos x-\sin x =-\int_0^x t\sin t\,\mathcal{d}t
\]
et ainsi,
\[\left| x\cos x-\sin x \right| =\left| \int_0^x t\sin t\,\mathcal{d}t \right|\leqslant \left| \int_0^x |t\sin t|\,\mathcal{d}t \right|\leqslant \left|\int_0^x t^2 \,\mathrm{d}t\right| =\frac{|x|^3}{3}\] d’après l’inégalité fondamentale (chap 0).
On en déduit, bien sûr, la limite dont vous avez besoin pour le TH de la limite de la dérivée !!
Bon courage !
Ohh effectivement je n’y avais pas du tout pensé, merci beaucoup !!
Bonjour Monsieur,
Je suis à la question 2 du DL et je sens qu’il faut passer par le théorème de la limite de la dérivée pour montrer que comme f'(x) tends vers 0, f’ est continue en 0 et f'(0) = 0. Cependant je suis sur une indétermination que je n’arrive pas du tout à lever avec \( f'(x) = \frac{xcos(x)-sin(x)}{x^2} \), j’ai beau passer par les équivalents et les astuces de +1-1, je ne tombe que sur des formes indéterminées. Je trouve sur certains forums des gens qui parlent de la règle de l’Hopital ou de développements limités, mais rien qu’on ait déjà vu. Serait-ce possible d’avoir une piste ?