Exercice 01-012 + Indications – PCSI2 du lycée Fabert (METZ)

Pattern of orange citrus slices. Citrus flat lay

Savoir faire : rédiger une récurrence. Choix d'une récurrence simple, double ou forte.

Exercice :

On considère la suite ${(a_{n})}_{n \in N}$ définie par
${\begin{cases} a_{0} = a_{1} = 1 \\ \forall n \in N^{*}, a_{n + 1} = a_{n} + \frac{2}{n + 1} a_{n - 1} . \end{cases}$
Démontrer que pour tout $n \in N^{*}, 1 ⩽ a_{n} ⩽ n^{2}$ .

Spoiler ALERT ! Si vous ne souhaitez pas savoir si le corrigé contient une récurrrence faible, double ou forte, NE CLIQUEZ PAS ICI ⚠︎

On va faire une démonstration par récurrence double, car on remarque dès la première lecture de l’énoncé que pour tout $n \in N$ , le calcul de $a_{n + 2}$ nécessite la connaissance des 2 termes précédents de la suite $a$ c’est-à-dire $a_{n + 1}$ et $a_{n}$ !

Éléments de corrigé

Ce contenu est réservé aux étudiants de PCSI2.
CPGE du lycée Fabert -- METZ

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Savoir faire : rédiger une récurrence. Choix d'une récurrence simple, double ou forte.

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