On sait que \(\sin x\underset{x \to 0}{=} x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}+\mathrm{o}\left(x^{6}\right)\) donc \(\frac{\sin x}{x}\underset{x \to 0}{=} 1-\frac{x^{2}}{6}+\frac{x^{4}}{120}+\mathrm{o}\left(x^{5}\right)\).
Problème : nous ne connaissons pas de DL de \(\arccos\) au point 1 !
Considérons
\(z:\R^*\longrightarrow \R,\ x\longmapsto \arccos \frac{\sin x}{x}=\arccos (1-y(x))\)
avec
\[ y:\R^* \longrightarrow \R,\ x\mapsto 1-\frac{\sin x}{x} \underset{x \to 0}{=}\frac{x^{2}}{6}-\frac{x^{4}}{120}+\mathrm{o}\left(x^{5}\right)\]
On peut affirmer que \(z\) est bien définie car nous savons que pour tout \(x\in\R^*,\ \left| \frac{\sin x}{x} \right| \leqslant 1 \) soit \( -1\leqslant \frac{\sin x}{x} \leqslant 1 \).
Étape 1
À présent, l’idée est d’exprimer d’une autre manière \(z\) en fonction de \(y\) (qui a comme limite 0 en 0) en commençant par écrire \(y\) en fonction de \(z\)!
Pour tout \(x\in\R^*,\)
\(\cos z(x) = \cos (\arccos(1-y(x))=1-y(x)\)
soit
\[
y(x) = 1-\cos (z(x)) = 2\sin^2 \frac{z(x)}{2} \quad \text{ ou encore }\quad \sin^2 \frac{z(x)}{2} = \frac{y(x)}{2}
\]
Étape 2
C’est presque gagné ! Mais peut-on écrire \(\sqrt{\frac{1}{2}y(x)}\) et ce réel positif est-il dans le domaine de \(\arcsin\) ? C’est à vous de bien justifier les calculs qui suivent …
Nous avons vu que pour tout \(x\in\R^*,\ -1\leqslant \frac{\sin x}{x} \leqslant 1 \) et ainsi, \(0. \leqslant y(x)=1-\frac{\sin x}{x}\leqslant 2\). Cela justifie l’existence et l’encadrement de l’expression suivante :
\[
0 \leqslant \sqrt{\frac{y(x)}{2}}\leqslant 1
\]
et ainsi, \(\sin \Big( \frac{z(x)}{2} \Big)=\sqrt{\frac{y(x)}{2}}\leqslant 1 \) car \(z(x)\in [0;\pi]\) par définition donc \(\frac{z(x)}{2}\in [0;\frac{\pi}{2}]\) donc \(\sin \frac{z(x)}{2}\geqslant 0\).
Enfin, \(\frac{z(x)}{2}\in [0;\frac{\pi}{2}]\) justifie que
\[ z(x)=2 \arcsin\sqrt{\frac{y(x)}{2}}\]
Cette nouvelle expression de \(z(x)\) en fonction de \(y(x)\) permet d’utiliser les DL connus car \(\lim_{x\to 0^+}\frac{y(x)}{2}=0\):
\[ \sqrt{\frac{y(x)}{2}}\underset{\ x\to 0^+}{=} \sqrt{\frac{x^{2}}{12}-\frac{x^{4}}{240}+\mathrm{o}\left(x^{5}\right)}\underset{\ x\to 0^+}{=}\frac{x}{2 \sqrt{3}} \sqrt{1-\frac{x^{2}}{20}+\mathrm{o}\left(x^{3}\right)}\underset{\ x\to 0^+}{=} \frac{x}{2 \sqrt{3}} \Big(1-\frac{x^{2}}{40}+\mathrm{o}\left(x^{3}\right)\Big)\]
On en déduit
\[z(x)=2 \arcsin \left(\frac{x}{2 \sqrt{3}}\left(1-\frac{x^{2}}{40}+\mathrm{o}\left(x^{3}\right)\right)\right)=2 \arcsin \left(\frac{x}{2 \sqrt{3}}-\frac{x^{3}}{80 \sqrt{3}}+\mathrm{o}\left(x^{4}\right)\right)
\]
et comme \(\arcsin u \underset{\ u\to 0}{=}u+\frac{u^{3}}{6}+\mathrm{o}\left(u^{4}\right)\), il s’ensuit :
\[
z(x) \underset{\ x\to 0^+}{=} 2\left(\left(\frac{x}{2 \sqrt{3}}-\frac{x^{3}}{80 \sqrt{3}}\right)+\frac{1}{6}\left(\frac{x^{3}}{24 \sqrt{3}}\right)+\mathrm{o}\left(x^{4}\right)\right)\underset{\ x\to 0^+}{=}\frac{x}{\sqrt{3}}-\frac{x^{3}}{90 \sqrt{3}}+\mathrm{o}\left(x^{4}\right)
\]
et finalement,
\[f(x)\underset{\ x\to 0^+}{=}\frac{1}{x}\left(\frac{x}{ \sqrt{3}}-\frac{x^{3}}{90 \sqrt{3}}+\mathrm{o}\left(x^{4}\right)\right) \underset{\ x\to 0^+}{=} \frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{x^{2}}{90 \sqrt{3}}+\mathrm{o}\left(x^{3}\right)\]
